Дано 25 чисел, причём известно, что сумма любых четырёх из них ...
Дано 25 чисел, причём известно, что сумма любых четырёх из них положительна.Объясните, почему положительной будет сумма всех 25 чисел.
Есть ответ
12.12.2022
248
Ответ
Порассуждаем не торопясь. Пусть всего чисел не 25, а 5: 
. Выпишем все четверки:
По условию все они положительны. Сложим все эти четверки. Снова получится положительное число. Поскольку каждое из чисел входит ровно в четыре четверки (для дальнейшего важно, что каждое число входит в одинаковое количество четверок), то общая сумма будет иметь вид
0. "4(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)0.")
Отсюда и следует утверждение.
Для 25 чисел рассуждение ничем не отличается, только четверок намного больше (те, кто знаком с комбинаторикой, может подтвердить, что всего четверок будет |}=frac{25!}{4!21!}=frac{25cdot 24cdot 23cdot 22}{4cdot 3cdot 2cdot 1}=25cdot 23cdot 22=12650 "C_{25}^4=frac{25!}{4|(25-4)|}=frac{25!}{4!21!}=frac{25cdot 24cdot 23cdot 22}{4cdot 3cdot 2cdot 1}=25cdot 23cdot 22=12650")
, хотя это абсолютно неважно для решения задачи). Важно только, что каждое из чисел будет входить в одинаковое количество четверок. Неважно, чему равно это количество, но доказывая тезис о том, что все математики страшные зануды, найдем его. Подбирая для конкретного числа "трех соседей", мы тем самым из 24 чисел выбираем три числа, а сделать это можно
способами. Сложив все четверки, а они по условию положительные) мы получим положительное число
0Rightarrow a_1+a_2+ldots + a_{25}0. "2024(a_1+a_2+ldots +a_{25})0Rightarrow a_1+a_2+ldots + a_{25}0.")
Доказательство завершено.
Если вы нашли правильное решение, вы можете поблагодарить нас начиная с 10 рублей.
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
12.12.2022
