Найти наибольшее значение параметра 'a', при котором уравнение: ...

Question

Найти наибольшее значение параметра 'a', при котором уравнение: ...

Дмитрий

Найти наибольшее значение параметра 'a', при котором уравнение: x^2-5x+6+sqrt(ax-2a)*(x-3)-6ax+18a=0 имеет единственное решение.

Есть ответ

12.12.2022

111

Ответ

Answer 1 · 12.12.2022

$x^2-5x+6+sqrt{ax-2a}(x-3)-6ax+18a=0\ (x-2)(x-3)+(x-3)sqrt{a(x-2)}-6a(x-3)=0\ (x-3)(x-2+sqrt{a(x-2)}-6a)=0$

$x_1=3;~~~ a(x-2)geq 0~~~~where~~~ ageq0$
Если х =3 , то, подставляя в уравнение, получим a = 1/4
$x-2+sqrt{a(x-2)}-6a=0$ - квадратное уравнение относительно $sqrt{x-2}$
$D=(sqrt{a})^2-4cdot (-6a)=25ageq 0\ \ sqrt{x-2}=dfrac{sqrt{a}pm5sqrt{a}}{2}=left[begin{array}{ccc}-2sqrt{a}\ 3sqrt{a}end{array}right$

Уравнение $sqrt{x-2}=-2sqrt{a}$ решений не имеет для $ageq 0$
$sqrt{x-2}=3sqrt{a}~~~Rightarrow~~~ x-2=9a~~~Rightarrow~~~ x_2=9a+2$

$displaystyle left { {{a0} atop {9a+2leq 2}} right. ~~~Rightarrow~~~~a 0$

При $a in (-infty ;0)cup{frac{1}{4}}$ уравнение имеет единственное решение. Наибольшее a = 1/4