сколько корней имеется на промежутке от -п до п включительно, в ...

Question

сколько корней имеется на промежутке от -п до п включительно, в ...

Мария

сколько корней имеется на промежутке от -п до п включительно, в котором значение функции у=sinx*cosx равно 0, 25?

Есть ответ

17.12.2022

185

Ответ

Answer 1 · 17.12.2022

$sinx cdot cosx = frac{1}{4}$ $[-pi;pi]$ Чтобы решить это уравнение, нужно привести к одной функции (т.е. чтобы либо только cos, либо только sin)Вспоминаем формулу синуса двойного угла: $2sinalpha cosalpha=sin2alpha$ Она бы нам подошла, если бы слева перед синусом и косинусом стояла двойка. Так как ее нет, мы подгоняем:Эти уравнения совершенно равнозначны: $sinx cdot cosx = frac{1}{2} cdot 2sinx cdot cosx$ $frac{1}{2} cdot 2sinxcosx = frac{1}{4}$ $frac{1}{2}sin2x=frac{1}{4}$ $sin2x=frac{1}{2}$ $2x = (-1)^{k} frac{pi}{6} + pi k$ $x=(-1)^{k} frac{pi}{12}+frac{pi k}{2}$ Это общее уравнение, а нам нужны корни на заданном промежутке. Промежуток $[-pi; pi]$ для удобства можем представить как $[frac{-12 pi}{12}; frac{12 pi}{12}]$ . Так удобнее для сравнения. Делаем выборку, подставляя вместо k разные целые числа: $k=0; x=frac{pi}{12}$ - этот корень принадлежит данному промежутку $k=1; x=frac{5 pi}{12}$ -принадлежит $k=-1; x=frac{-7 pi}{12}$ - принадлежит $k=-2; x=frac{-11 pi}{12}$ Получилось что 4 корня принадлежат.Ответ: 4