Про натуральные числа m и n известно, что m^2+m+n^2 делится на ...

Question

Про натуральные числа m и n известно, что m^2+m+n^2 делится на ...

Ira

Про натуральные числа m и n известно, что m^2+m+n^2 делится на mn. Докажите, что m - точный квадрат

Есть ответ

12.12.2022

249

Ответ

Answer 1 · 12.12.2022

Если m=1, то m является полным квадратом ( $1=1^2$ ), поэтому этот случай можно не рассматривать.
Пусть m>1 не является полным квадратом, тогда в разложении m на простые множители (существование такого разложения гарантируется основной теоремой арифметики)
$m=p_1^{t_1}p_2^{t_2}cdot ldots cdot p_k^{t_k}$
хотя бы один показатель является нечетным числом. Не теряя общности, можно предположить, что это $t_1=2s+1.$
По условию $m(m+1)+n^2=mna,$ где a - целое число. Разделим это равенство на m:
$m+1+frac{n^2}{m}=na.$
Поскольку m+1 и na - целые числа, $frac{n^2}{m}$ является целым числом, то есть $n^2$ делится на m, откуда $n^2$ делится на $p_1^{2s+1}.$ Отсюда следует, что n делится на $p_1^{s+1},$ следовательно $n^2$ делится на $p_1^{2s+2}.$
Теперь мы уже на финише. Из последнего рассуждения следует, что $frac{n^2}{m}$ делится на $p_1,$ na, естественно, делится на $p_1,$ но (m+1) ну никак не может делиться на $p_1,$ поскольку соседние натуральные числа взаимно просты (а m делится на $p_1$ ).
Полученное противоречие доказывает, что m обязано быть полным квадратом.