В окружность вписан правильный треугольник и вокруг окружности ...

Question

В окружность вписан правильный треугольник и вокруг окружности ...

Настя

В окружность вписан правильный треугольник и вокруг окружности описан правильный треугольник.
Найдите: отношение их площедей

Есть ответ

17.12.2022

107

Ответ

Answer 1 · 17.12.2022

Найдём сторону a правильного многоугольника, вписанного в окружность с радиусом R:

$sin frac{alpha}{2} = frac{a}{2} cdot frac{1}{R}$ ,

где $alpha = frac{2pi}{n}$ , n — число сторон правильного многоугольника.

Для правильного треугольника имеем: $a = 2R cdot sin frac{pi}{3}$ .

Найдём сторону A правильного многоугольника, описанного около окружности с радиусом r:

$tg frac{alpha}{2} = frac{A}{2} cdot frac{1}{r}$ .

Для частного случая правильного треугольника: $A = 2r cdot tg frac{pi}{3}$

Окружность у нас одна и та же (R = r).

Находим отношение сторон:

$displaystyle frac{A}{a} = frac{r}{R} cdot frac{tg frac{pi}{3}}{sin frac{pi}{3}} = 1 cdot frac{1}{cos frac{pi}{3}} = 2$

Итак, сторона описанного равностороннего треугольника в два раза больше вписанного.

Площадь равностороннего треугольника со стороной a:

$s = 2 cdot frac{1}{2} cdot frac{a}{2} cdot h = frac{ah}{2}$ ,

где h — высота треугольника, $h^2 = frac{3}{4} a^2 Rightarrow h = frac{sqrt 3}{2} a$ .

$s = frac{sqrt 3}{4} cdot a^2$

Следовательно, площади относятся друг к другу как квадраты сторон.

$frac{S}{s} = left(frac{A}{a}right)^2 = 2^2 = 4$

P.S. Решения правятся только со второй-третей попытки.

В окружность вписан правильный треугольник и вокруг окружности ...

В окружность вписан правильный треугольник и вокруг окружности описан правильный треугольник. Найдите: отношение их площедей

Ответ

В окружность вписан правильный треугольник и вокруг окружности описан правильный треугольник.
Найдите: отношение их площедей