Всем привет, помогите решить номер 1 и если не трудно второй, ...
Всем привет, помогите решить номер 1 и если не трудно второй, пожалуйста.
Есть ответ
12.12.2022
258
Ответ
№1 Доказательство с помощью математической индукции:
1) проверим равенство для n=1
(n+2)} =frac{1}{2*3} =frac{1}{6}; \ \ frac{n}{2(n+2)}=frac{1}{2*(1+2)}=frac{1}{6} "n=1: frac{1}{2*3} +frac{1}{3*4} +frac{1}{4*5}+...+frac{1}{(n+1)(n+2)} =frac{1}{2*3} =frac{1}{6}; \ \ frac{n}{2(n+2)}=frac{1}{2*(1+2)}=frac{1}{6}")
Равенство выполняется!
2) покажем, что формула верна для n+1
Левая часть равенства примет вид:
(n+2)}+frac{1}{(n+1+1)(n+1+2)}=\ \ =frac{1}{2*3}+frac{1}{3*4}+frac{1}{4*5}+...+frac{1}{(n+1)(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)} "frac{1}{2*3}+frac{1}{3*4}+frac{1}{4*5}+...+frac{1}{(n+1)(n+2)}+frac{1}{(n+1+1)(n+1+2)}=\ \ =frac{1}{2*3}+frac{1}{3*4}+frac{1}{4*5}+...+frac{1}{(n+1)(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)}")
Правая часть равенства примет вид:
}=frac{n+1}{2(n+3)} "frac{n+1}{2(n+1+2)}=frac{n+1}{2(n+3)}")
С другой стороны, если верно:
(n+2)}=frac{n}{2(n+2)} "frac{1}{2*3} +frac{1}{3*4} +frac{1}{4*5}+...+frac{1}{(n+1)(n+2)}=frac{n}{2(n+2)}")
то верно и следующее утверждение:
(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)}=frac{n}{2(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)} "frac{1}{2*3} +frac{1}{3*4} +frac{1}{4*5}+...+frac{1}{(n+1)(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)}=frac{n}{2(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)}")
(просто прибавляем к обеим частям равенства следующий член)
далее приводим правую часть к виду: (n+1) / 2(n+3)
}+frac{1}{(n+2)(n+3)}=frac{n(n+3)}{2(n+2)(n+3)}+frac{2}{2(n+2)(n+3)}=frac{n(n+3)+2}{2(n+2)(n+3)}=\ \ =frac{n^2+3n+2}{2(n+2)(n+3)}=frac{(n+1)(n+2)}{2(n+2)(n+3)} =frac{n+1}{2(n+3)} "frac{n}{2(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)}=frac{n(n+3)}{2(n+2)(n+3)}+frac{2}{2(n+2)(n+3)}=frac{n(n+3)+2}{2(n+2)(n+3)}=\ \ =frac{n^2+3n+2}{2(n+2)(n+3)}=frac{(n+1)(n+2)}{2(n+2)(n+3)} =frac{n+1}{2(n+3)}")
Доказано!
№2 неравенство не выполняется для всех n
Например, при n=2, получаем:
2²>3*2-1
4>5 - неверное неравенство!
(скорее всего тут опечатка или нет дополнительного условия)
Если вы нашли правильное решение, вы можете поблагодарить нас начиная с 10 рублей.
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
12.12.2022
