отрезки AB и CD пересекаются в их середине O. докажите что AC ...

Ira

ΔAOC = ΔBOD по двум сторонам и углу между ними (CO = DO и AO = BO по условию, а ∠AOC = ∠BOD как вертикальные).
Из равенства треугольников следует, что ∠ACD = ∠BDC.
Т.к. накрест лежащие углы ACD и BDC равны, то AC ║ BD, что и требовалось доказать.