Найдите все значения параметра а, при которых система имеет ...
Найдите все значения параметра а, при которых система ^y+(3+2sqrt{2})^y-3a=x^2+6x+5, } atop {y^2-(a^2-5a+6)x^2=0,}}atop {-6leq xleq 0 }} right. "left { {{(3-2sqrt{2})^y+(3+2sqrt{2})^y-3a=x^2+6x+5, } atop {y^2-(a^2-5a+6)x^2=0,}}atop {-6leq xleq 0 }} right.")
имеет единственное решение.
Есть ответ
12.12.2022
114
Ответ
Заметим, что если пара (x₀, y₀) – решение системы, то и пара (x₀, -y₀) также является решением системы. Доказывается это подстановкой -y вместо y в уравнения:
В первом уравнении рассмотрим только первые две скобки:
^{-y}+(3+2sqrt{2})^{-y}=frac{1}{(3-2sqrt{2})^{y}}+frac{1}{(3+2sqrt{2})^{y}}=frac{(3+2sqrt{2})^{y}}{(3-2sqrt{2})^{y}(3+2sqrt{2})^{y}}+\+frac{(3-2sqrt{2})^{y}}{(3+2sqrt{2})^{y}(3-2sqrt{2})^{y}}=frac{(3+2sqrt{2})^{y}}{(3^2-(2sqrt{2})^2)^y}+frac{(3-2sqrt{2})^{y}}{(3^2-(2sqrt{2})^2)^y}=frac{(3+2sqrt{2})^{y}}{1^y}+frac{(3-2sqrt{2})^{y}}{1^y}=\=(3+2sqrt{2})^y+(3-2sqrt{2})^y "(3-2sqrt{2})^{-y}+(3+2sqrt{2})^{-y}=frac{1}{(3-2sqrt{2})^{y}}+frac{1}{(3+2sqrt{2})^{y}}=frac{(3+2sqrt{2})^{y}}{(3-2sqrt{2})^{y}(3+2sqrt{2})^{y}}+\+frac{(3-2sqrt{2})^{y}}{(3+2sqrt{2})^{y}(3-2sqrt{2})^{y}}=frac{(3+2sqrt{2})^{y}}{(3^2-(2sqrt{2})^2)^y}+frac{(3-2sqrt{2})^{y}}{(3^2-(2sqrt{2})^2)^y}=frac{(3+2sqrt{2})^{y}}{1^y}+frac{(3-2sqrt{2})^{y}}{1^y}=\=(3+2sqrt{2})^y+(3-2sqrt{2})^y")
После замены y на -y сумма не изменилась, значит, уравнение осталось тоже неизменным.
Во втором уравнении при подстановке -y минус «съедается» квадратом, поэтому уравнение также остаётся неизменным.
Исходя из этого единственным решение бывает тогда, когда y = -y, то есть y = 0. Получаем такую систему:
x^2=0,\-6leq xleq 0end{cases}end{equation*} "begin{equation*}begin{cases}2-3a=x^2+6x+5,\(a^2-5a+6)x^2=0,\-6leq xleq 0end{cases}end{equation*}")
Рассмотрим функцию =x^2+6x+5 "f(x)=x^2+6x+5")
на промежутке -6 ≤ x ≤ 0. Вершина этой параболы находится в точке с абсциссой -3, ось симметрии ровно посередине заданного промежутка. Значит, при x = -3 парабола принимает ровно одно значение, а при всех остальных заданных x – ровно два. Отсюда единственность решения достигается:
1) x = -3 (единственное решение первого уравнения), причём 
, иначе не будет решений второго уравнения;
2) x = 0 (единственное решение второго уравнения).
Случай, когда первое уравнение имеет два решения, а второе – только одно из них, не достигается.
Случай 1 (x = -3):
^2+6*(-3)+5 Leftrightarrow 2-3a=-4 Leftrightarrow a=2 "2-3a=(-3)^2+6*(-3)+5 Leftrightarrow 2-3a=-4 Leftrightarrow a=2")
При таком a 
- верно, значение подходит.
Случай 2: (x = 0):
.
Проверка значений параметра на посторонние решения:
При a = 2 из второго уравнения следует, что y = 0, тогда из первого следует, что 
, это уравнение также имеет единственное решение.
При a = -1 первое уравнение имеет вид ^y+(3+2sqrt{2})^y=x^2+6x+2 "(3-2sqrt{2})^y+(3+2sqrt{2})^y=x^2+6x+2")
. Рассмотрим функции =(3-2sqrt{2})^x+(3+2sqrt{2})^x "f(x)=(3-2sqrt{2})^x+(3+2sqrt{2})^x")
и =x^2+6x+2, -6leq xleq 0 "g(x)=x^2+6x+2, -6leq xleq 0")
.
=((3-2sqrt{2})^x+(3+2sqrt{2})^x)'=((3-2sqrt{2})^x)'+((3+2sqrt{2})^x)'=\=(3-2sqrt{2})^xln{(3-2sqrt{2})}+(3+2sqrt{2})^xln{(3+2sqrt{2})}=\=(3+2sqrt{2})^xln{(3+2sqrt{2})}-(3-2sqrt{2})^xln{(3+2sqrt{2})}=\=ln{(3+2sqrt{2})}((3+2sqrt{2})^x-(3-2sqrt{2})^x) "f'(x)=((3-2sqrt{2})^x+(3+2sqrt{2})^x)'=((3-2sqrt{2})^x)'+((3+2sqrt{2})^x)'=\=(3-2sqrt{2})^xln{(3-2sqrt{2})}+(3+2sqrt{2})^xln{(3+2sqrt{2})}=\=(3+2sqrt{2})^xln{(3+2sqrt{2})}-(3-2sqrt{2})^xln{(3+2sqrt{2})}=\=ln{(3+2sqrt{2})}((3+2sqrt{2})^x-(3-2sqrt{2})^x)")
Нули производной:
}((3+2sqrt{2})^x-(3-2sqrt{2})^x)=0\(3+2sqrt{2})^x=(3-2sqrt{2})^x\x=0 "ln{(3+2sqrt{2})}((3+2sqrt{2})^x-(3-2sqrt{2})^x)=0\(3+2sqrt{2})^x=(3-2sqrt{2})^x\x=0")
Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. Значит, x = 0 – точка глобального минимума. Минимальное значение функции f(0) = 2. Значит, E(f) = [2; +∞).
g(x) – парабола. При заданных ограничениях E(g) = [-4; 2]. Значит, решение первого уравнения существует, если:
=2} atop {g(x)=2}} right. left { {{y=0} atop {x=-6; 0}} right. "left { {{f(y)=2} atop {g(x)=2}} right. left { {{y=0} atop {x=-6; 0}} right.")
Вид второго уравнения при a = -1: 
. Пара решений (-6; 0) не является его решением. Пара (0; 0) является его решением. Значит, система имеет единственное решение.
Ответ: -1; 2
Если вы нашли правильное решение, вы можете поблагодарить нас начиная с 10 рублей.
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
12.12.2022
