Дано NP=2RN и RM:MQ=1:8. Найдите нужные отношения. PK:PQ KS:SR ...

Question

Дано NP=2RN и RM:MQ=1:8. Найдите нужные отношения. PK:PQ KS:SR ...

Ira

Дано NP=2RN и RM:MQ=1:8. Найдите нужные отношения. PK:PQ KS:SR PL:LS

Есть ответ

12.12.2022

149

Ответ

Answer 1 · 12.12.2022

Такую задачу можно делать с помощью теоремы о пропорциональных отрезках, но при этом нужно проводить дополнительные линии, а мне делать это лень. Поэтому воспользуемся теоремой Менелая. Советую перед разбором решения ознакомиться с формулировкой этой теоремы. А заодно и с теоремой Чевы. А если посмотрите и теорему Ван-Обеля, вы будете подкованы на 100%.

Кстати, удобно сначала воспользоваться теоремой Чевы. Поскольку чевианы PM, RK и QN пересекаются в одной точке, справедливо равенство $frac{PN}{NR}cdot frac{RM}{MQ}cdot frac{QK}{KP}=1; 2cdot frac{1}{8}cdot frac{QK}{KP}=1; frac{QK}{KP}=4$ .
То есть в QK четыре части, а в KP одна часть. Следовательно, в PQ=PK+KQ пять частей, а тогда $frac{PK}{PQ}=frac{1}{5}.$

Для нахождения второго отношения воспользуемся теоремой Ван-Обеля. Поскольку чевианы PM, RK и QN пересекаются в точке S, то

$frac{RS}{SK}=frac{RN}{NP}+frac{BM}{MQ}=frac{1}{2}+frac{1}{8}=frac{5}{8}Rightarrow frac{KS}{SR}=frac{8}{5}$

Для нахождения третьего отношения применим теорему Менелая к треугольнику PRS и прямой NK, которая пересекает стороны PR и PS и продолжение стороны RS. Имеем:
$frac{PL}{LS}cdot frac{SK}{KR}cdot frac{RN}{NP}=1;$ $frac{PL}{LS}cdot frac{8}{13}cdot frac{1}{2}=1;$
$frac{PL}{LS}=frac{13}{4}$

Внимание для тех, кто хочет (и знает, как) сделать сайт лучше и комфортнее! В данный момент я имею в виду не преодоление тех очевидных недостатков, которые становятся очевидными в первые пять минут, а плохую работу встроенного TEX'а. Впечатление, что здешние айтишники не знают, как решить возникающие проблемы. Предложите им свои услуги!