Найти первые пять членов разложения дифференциального уравнения ...
Найти первые пять членов разложения дифференциального уравнения в степенной ряд y’’+(y’)^2=2, y(1)=1, y’(1)=1
Есть ответ
12.12.2022
407
Ответ
Конечно, в степенной ряд ( то есть в ряд Тейлора) раскладывается не само дифференциальное уравнение, а его решение.
В общем виде ряд Тейлора функции y(x) в точке a имеет вид
=y(a)+y'(a)(x-a)+frac{y''(a)}{2!}(x-a)^2+ldots +frac{y^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+ldots "y(x)=y(a)+y'(a)(x-a)+frac{y''(a)}{2!}(x-a)^2+ldots +frac{y^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+ldots")
В нашем случае, естественно, a=1. По условию y(a)=y(1)=1; y'(1)=1.
Дифференциальное уравнение запишем в виде
^2+2Rightarrow y''(1)=-(1)^2+2=1. "y''=-(y')^2+2Rightarrow y''(1)=-(1)^2+2=1.")
Продифференцировав дифференциальное уравнение, получаем
=-2cdot 1cdot 1=-2. "y'''=-2y'y''Rightarrow y'''(1)=-2cdot 1cdot 1=-2.")
Еще раз продифференцируем дифференциальное уравнение:
}=-2(y'')^2-2y'y'''Rightarrow y^{(4)}(1)=-2cdot 1^2-2cdot 1cdot (-2)=2Rightarrow "y^{(4)}=-2(y'')^2-2y'y'''Rightarrow y^{(4)}(1)=-2cdot 1^2-2cdot 1cdot (-2)=2Rightarrow")
=1+(x-1)+frac{1}{2}(x-1)^2-frac{1}{3}(x-1)^3+frac{1}{12}(x-1)^4+ldots "y(x)=1+(x-1)+frac{1}{2}(x-1)^2-frac{1}{3}(x-1)^3+frac{1}{12}(x-1)^4+ldots")
Если вы нашли правильное решение, вы можете поблагодарить нас начиная с 10 рублей.
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
12.12.2022
