В правильной 4-х угольной призме, со стороной основания 4см, ...

Viktor

Итак.
Призма правильная, поэтому в основаниях правильные четырёхугольники, то есть квадраты, а боковые рёбра перпендикулярны основанию призмы.
По условию ∠D₁BD = 30°; ∠D₁DB = 90° т.к.  DD₁ ⊥ (ABC).
Таким образом в прямоугольном ΔD₁BD: DD₁ = tg(D₁BD) · BD. BD=4√2 см как диагональ квадрата со стороной 4 см, поэтому DD₁ = 4√2 /√3  см
Объём правильной призмы можно найти через боковое ребро и площадь основания таким образом.