Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см. Радиус ...

Дмитрий

Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см. Радиус окружности, описанной около ее основания-8 корней из 3. Вычислить: 

а) длину бокового ребра пирамиды.

б) площадь боковой поверхности пирамиды.

–––––––––––

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Высота перпендикулярна основанию пирамиды МАВС, а его центр является центром описанной и вписанной в правильный треугольник окружности. Причем радиус описанной окружности равен 2/3 этой высоты, а радиус вписанной –1/3.

а) Боковое ребро  АМ пирамиды –  гипотенуза прямоугольного треугольника МОА. 

По т.Пифагора АМ=√(АО²+МО²)=√(64+192)=16 см

б) Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники с боковыми сторонами, равными боковому ребру и основанием, равным  стороне основания пирамиды.  
Площадь боковой поверхности - сумма площадей трех равных граней.  Боковое ребро найдено  =16.

Найти сторону АВ основания поможет длина описанной окружности. 

R=a:√3 - формула радиуса описанной окружности правильного треугольника, где а- сторона треугольника. ⇒

а=R•√3⇒

АВ=8•3=24

S ∆ AMB=MH•AB:2=MH•AH

Из ⊿ МОН  по т.Пифагора

МН²=МО²+ОН²

ОН - радиус вписанной в правильный треугольник окружности и равен половине радиуса описанной,⇒

ОН=4√3

МН=√(МО²+ОН²)=√(64+48)=√112=4√7⇒

S бок=3•S∆ AMB=3•12•4√7=144√7 см²