Найти сумму без использования индукции: 1*2 + 2*3*x+3*4*x^2+ ...
Найти сумму без использования индукции: 1*2 + 2*3*x+3*4*x^2+ 4*5*x^3+....
Есть ответ
12.12.2022
201
Ответ
(n+2)x^{n} "1*2 + 2*3x+3*4x^2+ 4*5x^3+... = sumlimits_{n=0}^{infty}(n+1)(n+2)x^{n}")
Это степенной ряд, найдём его радиус сходимости.
Согласно признаку Даламбера.
(n+2)}{(n+2)(n+3)}| =\\ lim_{n - +infty}|frac{(n+1)}{(n+3)}| =lim_{n - +infty}|1 - frac{2}{n+3}| = 1 "R = lim_{n - +infty}|frac{a_n}{a_{n+1}}|= lim_{n - +infty}|frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)(n+3)}| =\\ lim_{n - +infty}|frac{(n+1)}{(n+3)}| =lim_{n - +infty}|1 - frac{2}{n+3}| = 1")
(n+2)x^{n} (*) "sumlimits_{n=0}^{infty}(n+1)(n+2)x^{n} (*)")
Так как радиус сходимости степенного ряда равен 1, то при |x| >1, ряд расходится.
Проверим сходимость в точках x = 1 и x = -1.
При x = 1, ряд (*) — расходится (так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда).
При x = -1, ряд (*) – расходится (так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда).
Ряд сходится при |x| < 1.
x^{n-1}\\ 1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1} =\\ (2x+3x^2+4x^3+5x^4+ ... + (n+1)x^{n})' = \\(x^2+x^3+x^4+x^5+ ... + x^{n+1})'' =\\ (x^2(1+x+x^2+x^3+ ... + x^{n-1}))'' "S_n = 1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1}\\ 1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1} =\\ (2x+3x^2+4x^3+5x^4+ ... + (n+1)x^{n})' = \\(x^2+x^3+x^4+x^5+ ... + x^{n+1})'' =\\ (x^2(1+x+x^2+x^3+ ... + x^{n-1}))''")
- разложение в ряд Маклорена функции 
См. дальнейшее решение во вложении.
x^{n-1} + ... = frac{2}{(1-x)^3} "1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1} + ... = frac{2}{(1-x)^3}")
при 
Если вы нашли правильное решение, вы можете поблагодарить нас начиная с 10 рублей.
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
12.12.2022
