Сложить дифференциальное уравнение и решить его Найти кривую, ...

Question

Сложить дифференциальное уравнение и решить его Найти кривую, ...

Motes

Сложить дифференциальное уравнение и решить его

Найти кривую, которая проходит через точку (2; 2) и, в которой точка пересечения любой ее касательной с осью Ox одинаково отдалена от точки касания и точки (0; 0)
Пожалуйста с очень подробным решением

Есть ответ

12.12.2022

240

Ответ

Answer 1 · 12.12.2022

Уравнение касательной: $y-y_0=y'_0(x-x_0)$

Отсюда: точка касания $(x_0,y_0)$ ;

точка пересечения с осью Ох $0-y_0=y'_0(x-x_0)\ x=x_0-dfrac{y_0}{y'_0}$

Расстояние от точки (0,0) до точки пересечения с осью Ох, конечно, равно $left|x_0-dfrac{y_0}{y'_0}right|$

Расстояние от точки касания до точки пересечения с осью Ох:

$sqrt{(y_0-0)^2+left(x_0-left(x_0-dfrac{y_0}{y'_0}right)right)^2}=sqrt{y_0^2+dfrac{y_0^2}{y'_0^2}$

$left|x_0-dfrac{y_0}{y'_0}right|=sqrt{y_0^2+dfrac{y_0^2}{y'_0^2}}\ x_0^2-dfrac{2x_0y_0}{y'_0}+dfrac{y_0^2}{y'_0^2}=y_0^2+dfrac{y_0^2}{y'_0^2}\ x_0^2-dfrac{2x_0y_0}{y'_0}=y_0^2\ y'_0=dfrac{2x_0y_0}{x_0^2-y_0^2}$

Перепишем в приличном виде:

$y'=dfrac{2xy}{x^2-y^2}$

Положим y=xv, тогда y'=xv'+v:

$xv'+v=dfrac{2x^2v}{x^2-x^2v^2}\ xv'=dfrac{2v}{1-v^2}-v=dfrac{v^3+v}{1-v^2}\$

Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными, решим его:

$dfrac{1-v^2}{v^3+v}dv=dfrac{dx}{x}\ intdfrac{1-v^2}{v^3+v}dv=ln Cx$

$dfrac{1-v^2}{v(1+v^2)}=dfrac1v-dfrac{2v}{1+v^2}$

$intdfrac{1-v^2}{v(1+v^2)}=ln|v|-ln(1+v^2)$

$dfrac{v}{1+v^2}=Cx\ dfrac{y/x}{1+y^2/x^2}=Cx\ dfrac{y}{x^2+y^2}=C$

Это уравнение задает семейство окружностей с центром на оси ординат, проходящих через точку (0,0).

Учитывая, что окружность должна проходить через точку (2,2), находим значение С:

$C=dfrac{2}{4+4}=dfrac14$

Ответ. это окружность $dfrac{4y}{x^2+y^2}=1$ .

P.S. На самом деле, то, что должна получаться окружность, практически очевидно. Условие равенства отрезков касательной, проведенных из одной точки, известно еще из школьного курса геометрии.

P.P.S. На досуге можно подметить, что в точке (2,2) производная бесконечна, и в дифуре можно (?) найти некоторую неоднозначность...