знайти загальний розв'язок диференціального рівняння ...
знайти загальний розв'язок диференціального рівняння x^2*y''+6y'+6y=0 якщо відомий його частинний розв язок y=x^-2
Есть ответ
12.12.2022
471
Ответ
Застосуємо формулу Ліувілля-Остроградського.
e^big{-frac{6}{x}+frac{6}{x_0}}=dfrac{W_0(x)}{e^big{-frac{6}{x_0}}}cdot e^big{-frac{6}{x}}=C_1e^big{-frac{6}{x}} "left|begin{array}{ccc}y_1& y_2\ y_1'& y_2'end{array}right|=W_0(x)e^big{-frac{6}{x}+frac{6}{x_0}}=dfrac{W_0(x)}{e^big{-frac{6}{x_0}}}cdot e^big{-frac{6}{x}}=C_1e^big{-frac{6}{x}}")
де 
— постійна константа.
За означення визначника, отримаємо
'=dfrac{C_1e^big{-frac{6}{x}}}{y_1^2}=dfrac{C_1e^big{-frac{6}{x}}}{(x^{-2})^2}=C_1x^4e^big{-frac{6}{x}}\ \ displaystyle frac{y_2}{y_1}=int C_1x^4e^big{-frac{6}{x}}dx~~~~Rightarrow~~~boxed{y_2=x^{-2}C_1int x^4e^big{-frac{6}{x}}dx} "y'_2y_1-y_2y_1'=C_1e^big{-frac{6}{x}}~~~~Rightarrow~~~~dfrac{y_2'y_1-y_2y_1'}{y_1^2}=dfrac{C_1e^big{-frac{6}{x}}}{y_1^2}\ \ bigg(dfrac{y_2}{y_1}bigg)'=dfrac{C_1e^big{-frac{6}{x}}}{y_1^2}=dfrac{C_1e^big{-frac{6}{x}}}{(x^{-2})^2}=C_1x^4e^big{-frac{6}{x}}\ \ displaystyle frac{y_2}{y_1}=int C_1x^4e^big{-frac{6}{x}}dx~~~~Rightarrow~~~boxed{y_2=x^{-2}C_1int x^4e^big{-frac{6}{x}}dx}")
Если вы нашли правильное решение, вы можете поблагодарить нас начиная с 10 рублей.
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
12.12.2022
