длины катетов прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 ...

Ирина

Решение основано на свойствах точки пересечения медиан и биссектрис и подобии треугольников.  Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒   АЕ=2/3 медианы из вершины А.   Проведем через Е прямую  параллельно СВ.    К - точка ее пересечения с АС. Треугольники АКЕ и АСМ подобны - прямоугольные с общим углом А.  Из подобия следует, что  КЕ делит АС в отношении АЕ:ЕМ, т.е. 2:1⇒   АК=8, КС=4 КЕ:СМ=АК:АС КЕ:(9:2)=8:12  КЕ=36:12=3 Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности.  Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле: r=(a+b-c):2  Треугольник АВС - египетский ( отношение катетов 3:4) ⇒  АВ=15 ( ту же  длину гипотенузы  АВ получим по т.Пифагора) r=(12+9-15):2=3  Расстояние от любой точки биссектрисы треугольника до его сторон одинаково.  Расстояние от О до катетов равно r=3 ⇒ ТО=СН=ОН=3 Но КЕ=3 (см. выше) Четырехугольник СКЕН - прямоугольник   ЕН=КС=4 ОЕ=ЕН-ОН=4-3=1 см