Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника ...

Lera

ΔABC - равнобедренный, AB = BC;
AC = 24 см;   BM⊥AC;   BM = 9 см
Площадь треугольника
S = AC * BM / 2 = 24 * 9 /2 = 108 см²
BM - высота равнобедренного треугольника, она же и медиана.
⇒     AM = MC = 24/2 = 12 см
ΔBMC - прямоугольный,   ∠M = 90°. 
Теорема Пифагора
BC² = BM² + MC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15² ⇒
AB = BC = 15 см
Площадь треугольника можно посчитать через радиус вписанной окружности:
S = pr,    где p - полупериметр.   ⇒     r = S/p

см
r = S/p = 108 / 27 = 4 см
Ответ: радиус вписанной окружности 4 см