Докажите, что если каждое из двух чисел представимо в виде суммы ...

Мария

 Есть очень известная теорема  Ферма-Эйлера, вот её формулировка:

 

Нечётное простое число представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел тогда и только тогда, когда оно имеет вид 

                            4k + 1                 где    k -  нат. число.

 

Пусть наши числа  х и y. Тогда по этой теореме

 

            х  =  4m + 1 ,  y =  4n + 1                (где  n, m -  нат. числа)

 

Рассмотрим произведение чисел х и y

 

хy =  (4m + 1)(4n + 1) =  16mn + 4m + 4n + 1 = 4*(4mn + m + n) + 1      =>



обозначив выражение 4mn + m + n  чрез некое натуральное число q  имеем

                                           хy =  4q + 1



тогда  по этой же теореме произведение хy  представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел..