Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функций ...

Viktor

Ответ:
(-∞ ;-3) => функция выпукла;
(-3; +∞) => функция вогнута;

(-∞ ;-6) f'(x) > 0 => функция возрастает;
(-6; 0) f'(x) < 0 => функция убывает;
(0; +∞) f'(x) > 0 => функция возрастает
;
Объяснение:
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.  
f'(x) = 3x2+18x  
или  
f'(x)=3x(x+6)  
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю  
x(x+6) = 0  
Откуда:  
x1 = 0  
x2 = -6

(-∞ ;-6) f'(x) > 0 => функция возрастает;
(-6; 0) f'(x) < 0 => функция убывает;
(0; +∞) f'(x) > 0 => функция возрастает
;

В окрестности точки x = -6 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -6 - точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.  
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.  
f''(x) = 6x+18  
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.  
6x+18 = 0  
Откуда точки перегиба:  
x1 = -3

(-∞ ;-3) => функция выпукла;
(-3; +∞) => функция вогнута;