Помогите, пожалуйста, решить: Исследовать ряды на сходимость. ...
Помогите, пожалуйста, решить:
Исследовать ряды на сходимость. Для степенного ряда найти область сходимости:
∞
1)∑ = 1/ n*5^n
n-1
2)∞
∑ =((-1)^n)*n / 2^n* (n+1)
n-1
∞
3)∑ = ((n²-5)/5^n)*(x-5)^n
n-3
Есть ответ
18.12.2022
105
Ответ
Необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, является стремление общего члена к нулю.
1) 
Как видим общий член при n -> ∞ стремится к нулю. Ряд у нас положительный, применим признак Даламбера (
)
5^{n+1}} = frac{1}{5}1 "lim_{n to infty} frac{n5^n}{(n+1)5^{n+1}} = frac{1}{5}1")
т.е. ряд сходится абсолютно
2) Ряд является знакочередующимся, применим признак Лейбница (Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.)
}|=0 "lim_{n to infty} |frac{n}{2^n(n+1)}|=0")
- ряд сходится. Исследуем также на абсолютную и условную сходимости (Сходящийся ∑a(n) называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей ∑|a(n)|, иначе — сходящимся условно.)
} "sum_{n=1}^{infty}|a_n|=sum_{n=1}^{infty}frac{n}{2^n(n+1)}")
воспользуемся признаком сравнения
}sum_{n=1}^{infty}frac{1}{2^n} "sum_{n=1}^{infty}frac{n}{2^n(n+1)}sum_{n=1}^{infty}frac{1}{2^n}")
ряд справа сходится, т.е. наш ряд сходится абсолютно.
3) ^n "sum_{n=3}^{infty}frac{n^2-5}{5^n}*(x-5)^n")
Воспользуемся признаком Даламбера
^2 - 5}{5^{n+1}}frac{5^n}{n^2-5}|x-5|=frac{1}{5}|x-5| "lim_{n to infty} frac{(n+1)^2 - 5}{5^{n+1}}frac{5^n}{n^2-5}|x-5|=frac{1}{5}|x-5|")
Наш ряд будет сходится, если ⅕|x-5|
Если вы нашли правильное решение, вы можете поблагодарить нас начиная с 10 рублей.
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
18.12.2022
