объем правильной четырехугольной пирамиды равен 4см3 а площадь ...

Дмитрий

Во-первых, определимся с расстоянием h от вершины основания до противоположной боковой грани. Оно (h) равно расстоянию от середины стороны основания до апофемы  А (апофема - высота боковой грани).

Обозначим  а - длину стороны основания, Н - высоту пирамиды, α - угол между апофемой и основанием, β - угол между высотой пирамиды и апофмой.

Объём пирамиды V = 1/3 H·a² = 4, откуда

Н = 12/а²   (1)

Площадь боковой поверхности: Sбок = 4·0,5А·а = 8, откуда

А = 4/а       (2)

Теперь рассмотрим два прямоугольных тр-ка:

В 1-м тр-ке гипотенуза А, катет Н лежит против угла α, катет 0,5а лежит против угла β.

Во 2-м тр-ке гипотенуза а, катет h лежит против угла α, а угол между катетом h и гипотенузой а, равен углу между гипотенузой А  и катетом Н 1-го тр-ка, т.к. это острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами, т.е. угол между катетом h и гипотенузой а равен β.

Рассматриваемые прямоугольные тр-ки подобны по двум равным углам.

Против равных углов лежат пропорциональные стороны:

А : а = Н : h

Подставим в эту пропорцию Н из (1) и А из (2):

4/а : а  = 12/а² : h

1/а² = 3/(а²·h)

Откуда h = 3·а²/а²

h = 3.

Ответ: расстояние равно 3 см.