среднее арифметическое корней уравнения ...

Question

среднее арифметическое корней уравнения ...

Ирина

среднее арифметическое корней уравнения cos(х-π/3)+cos²2x=1-cos²(π/2-2х), принадлежащему отрезку [-π;2π], равно.....

Есть ответ

18.12.2022

493

Ответ

Answer 1 · 18.12.2022

Решим задачу пошагово:

cos(х-π/3)+cos²2x=1-cos²(π/2-2х)

cos(х-π/3)+cos²2x - 1 = -cos²(π/2-2х)

cos²(π/2-2х) = $sin^{2}2x$ (По формуле приведения).

cos(х-π/3)+cos²2x - 1 = - $sin^{2}2x$

cos²2x - 1 = (cos2x - 1)(cos2x + 1).

(cos2x - 1) = 1 - 2 $sin^{2}x$ - 1 = - 2 $sin^{2}x$ .

(cos2x + 1) = 2 $cos^{2}x$ - 1 + 1 = 2 $cos^{2}x$ .

(cos2x - 1)(cos2x + 1) = - $2sin^{2}x2cos^{2}x$ = - $4sin^{2}xcos^{2}x$ =- $(2sinxcosx)^{2}$ = - $sin^{2}2x$ .

После подстановки найденных тождеств, получим:

cos(х-π/3) - $sin^{2}2x$ = - $sin^{2}2x$ .

cos(х-π/3) - $sin^{2}2x$ + $sin^{2}2x$ = 0.

cos(х-π/3) = 0.

cos(х-π/3) = cos(π/2 + πn), где n принадлежит Z.

х-π/3 = π/2 + πn, где n принадлежит Z.

x = π/2 + πn + π/3, где n принадлежит Z.

x = 5π/6 + πn, где n принадлежит Z.

Найдём корни, принадлежащие отрезку [-π;2π], для этого составим следующее двойное неравенство:

-π >= 5π/6 + πn = и = πn = πn = n = n