Докажите, что при любом натуральном n, большем 1,выражение ...
Докажите, что при любом натуральном n, большем 1,выражение 
делится на 264
Есть ответ
18.12.2022
298
Ответ
264=33*8
Докажем, что выражение кратно 33 и 8.
Преобразуем: (49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33cdot)
(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) " title="7^{2n}-4^{2n}-297=49^n-16^n-33*9=(49-16)(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33cdot (49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) " alt="7^{2n}-4^{2n}-297=49^n-16^n-33*9=(49-16)(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33cdot (49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) " />
То есть кратно 33.
Рассмотрим второй множитель, состоящий из нескольких слагаемых -33*9=33cdot)
(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) " title="(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33cdot (49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) " alt="(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33cdot (49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) " />. Все слагаемые, которые содержат множитель 16 в той или иной степени, кратны 8.
Обратимся к тем слагаемым, которые не содержат такого множителя, то есть к разности 
.
Преобразуем }-9=((8-1)^2)^{n-1}-(8+1)=(8^2-2cdot8+1)^{n-1}-(8+1)=64^{n-1}-16^{n-1}+1^{n-1}-8-1=64^{n-1}-16^{n-1}-8 "49^{n-1}-9=7^{2(n-1)}-9=((8-1)^2)^{n-1}-(8+1)=(8^2-2cdot8+1)^{n-1}-(8+1)=64^{n-1}-16^{n-1}+1^{n-1}-8-1=64^{n-1}-16^{n-1}-8")
. Каждое из алгебраических слагаемых делится на 8, значит, разность также кратна 8.
Следовательно, множитель (49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) " title="(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33cdot (49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) " alt="(49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33cdot (49^{n-1}+49^{n-2}cdot16+49^{n-3}cdot16^2+...+49^2cdot16^{n-3}+49cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) " /> кратен 8.
Таким образом выражение кратно 33 и 8, то есть кратно 264, ч.т.д..
Если вы нашли правильное решение, вы можете поблагодарить нас начиная с 10 рублей.
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
18.12.2022
