Две окружности с равными радиусами пересекаются в двух точках. ...

Женя

Соединим центры окружностей с точками их пересечения, получим четырёхугольник, у которого все стороны равны (являясь радиусами).

Диагоналями этого четырёхугольника являются общая хорда и отрезок, соединяющий центры окружностей.

Известно, что четырёхугольник, у которого все стороны равны является ромбом(в частном случае -  квадратом).

Диагонали получившегося ромба по свойству ромба перпендикулярны.

Следовательно общая хорда перпендикулярна отрезку, соединяющему центры окружностей, что и требовалось доказать.