Найдите нули первообразной функции f:[pi;2pi]->R, ...

Question

Найдите нули первообразной функции f:[pi;2pi]->R, ...

Vasy

Найдите нули первообразной функции f:[pi;2pi]->R, f(x)=cos(x)-sin(x), если известно, что F(3pi/2)=-2.

Есть ответ

18.12.2022

357

Ответ

Answer 1 · 18.12.2022

Найдем интеграл от f(x)

Получаем:

$F(x)=int{f(x)}, dx \ F(x)=int{(cos(x)-sin(x)}),dx=int{cos(x)},dx - int {sin(x)},dx= \ =sin(x)+cos(x)+C, \C=const$

Надо найти C.

Известно что $F(frac{3pi}{2})=-2$

Подставим в найденное F(x), получим:

$sin(frac{3pi}{2})+cos(frac{3pi}{2})+C=-2 \ -1+0+C=-2 \ C=-2+1 \ C=-1$

Получили, что $F(x)=sin(x)+cos(x)-1$

Дальше надо решить уравнение:

$sin(x)+cos(x)-1=0 \ sin(x)=sqrt{1-cos^2(x)} \ sqrt{1-cos^2(x)}=1-cos(x) \ 1-cos^2(x)=1-2cos(x)+cos^2(x)\ 2cos^2(x)-2cos(x)=0\ 2cos(x)(cos(x)-1)=0\ 1) cos(x)=0 \ x_1=frac{pi}{2}+2pi k, k in Z\ 2) cos(x)-1=0\ cos(x)=1\ x_2=2pi n, n in Z$

Итак получили 2 решения, теперь обратим внимание на условие: $f: [pi;2pi] to R$ , что под ним подразумевалось изначально, я не уверен, может быть этим условием хотели сказать что нас интересуют только действительные корни уравнения и мы не рассматриваем пространство комплексных корней, но скорее всего здесь это было сделано для того чтобы ограничить область в которой лежат нули первообразной, областью следующего вида: $x in [pi; 2pi]$ . Будем полагать что это так, тогда нули первообразной $x_1=frac{pi}{2}+2pi k \ x_2=2pi n , \k,n in Z$ лежат на данном отрезке при n=1, и первый корень вообще не будет лежать на отрезке при любых значениях k

таким образом получается, что:

$x=2pi$ единственный ноль первообразной.

Подводя итог получаем

Нулями производной будут: $x_1=frac{pi}{2}+2pi k, k in Z \ x_2=2pi n, n in Z$

Однако условию $f: [pi;2pi] to R$ удовлетворяет только $x=2pi$

Ответ: $x=2pi$