В кубе abcda1b1c1d1 на ребре dd1 выбрана точка e так, что ...

Ira

В треугольнике АСЕ АС - диагональ квадрата в основании, и

АС^2 = 2; (длина ребра куба принята за 1)

АЕ = СЕ,

и

АЕ^2 = AD^2 + DE^2 = 1 + (1/3)^2 = 10/9;

Если обозначить косинус угла АЕС (который и надо найти) за  х, то

по теореме косинусов для треугольника АЕС

АС^2 = AE^2 + CE^2 - 2*AE*CE*x = 2*AE^2*(1 - x);

2 = 2*(10/9)*(1 - x);

x = 1/9;

 

Я добавлю глубокомысленное замечание. 

Обратите внимание на технику решения - я не записал по ходу ни одного корня. Это, конечно, мелочь, но именно в таких мелочах и путаются обычно.