Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого ...
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найти площадь четырехугольника.
Есть ответ
18.12.2022
342
Ответ
Пусть
K,
L,
M
и
N
середины сторон соответственно
AB,
BC,
CD
и
AD
выпуклого четырёхугольника
ABCD,
LN = 2,
KM = 7.
Отрезки
KL
и
MN —
средние линии треугольников
ABC
и
ADC,
поэтому
KL ‖ AC,
KL =
1
2
AC,
MN ‖ AC,
MN =
1
2
AC,
значит, четырёхугольник
KLMN —
параллелограмм, а так как его диагонали
KM
и
LN
перпендикулярны, то это — ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т. е.
S
KLMN
=
1
2
· 2 · 7 = 7.
Поскольку
KL —
средняя линия треугольника
ABC,
площадь треугольника
KBL
равна четверти площади треугольника
ABC.
Аналогично, площадь треугольника
MDN
равна четверти площади треугольника
ADC,
поэтому
S
△KBL
+ S
△MDN
=
1
4
S
△ABC
+
1
4
S
△ADC
=
1
4
(S
△ABC
+ S
△ADC
) =
1
4
S
ABCD
.
Аналогично,
S
△KAN
+ S
△MCL
=
1
4
S
ABCD
.
Следовательно,
S
KLMN
= S
ABCD
− S
△KBL
− S
△MDN
− S
△KAN
− S
△MCL
=
= S
ABCD
−
1
4
S
ABCD
−
1
4
S
ABCD
= S
ABCD
−
1
2
S
ABCD
=
1
2
S
ABCD
,
S
ABCD
= 2S
KLMN
= 2 · 7 = 14.
Если вы нашли правильное решение, вы можете поблагодарить нас начиная с 10 рублей.
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
18.12.2022
