В прямоугольном треугольнике ABC C=90 AC=3 AB=5 AM- биссектриса ...

Женя

 

Сделаем рисунок. Треугольник АВС- так называемый "египетский,  с отношением сторон 3:4:5 и второй катет ВС = 4Проведем в нем биссектрису АМ. Обозначим отрезки, на которые поделена СВ, как х и у. Так как СВ=4, х+у=4у=4-хПрименим свойство биссектрисы треугольника, а именно:Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: х:у=3:5, следовательно, 3у=5х. Подставим в это уравнение значение у, найденное из первого уравнения и решим его. Получим: х=1,5 , у=2,5Проведем из М к ВЕ высоту МН.Δ АВС и ΔМВЕ подобны. В них равны углы, а коэффициент подобия равен АВ:МВ=2 Отсюда ВН=2,МН=1,5Так как ВЕ=2,5 ( точка Е делит медианой  сторону АВ на 2 равные части по 2,5), ЕН=0,5Из треугольника ЕМН находим ЕМ=√2,5. Путем несложных преобразований переведем  √2,5 в (√10):2
Во втором  приложении дан вариант решение это задачи.