Вершины треугольника АВС лежат на окружности, диаметром которой ...

Нюра

Этот треугольник прямоугольный, т.к. его гипотенуза является диаметром окружности. Площадь треугольника находим обычным способом

S=половина произведения высоты на основание. Но мы не знаем ни высоты, ни основания треугольника АВС.Соединим центр окружности с вершиной А треугольника АВС.Примем радиусы окружности СО, ОВ, ОА равными х.Тогда

диаметр СВ=2х, а ВТ=2х-6СТ=ВТ+2х=(2х-6)+2х=4х-6Отрезок ОТ=4х-6-х=3х-6Из треугольника АОТ найдем по теореме Пифагора значение х:АО²=ОТ²-АТ²х²=(3х-6)²-(2,5)²х²=9х²-36х+36 -208х²-36х+16=0Решив квадратное уравнение, найдем х=4. ( второй корень (-0,5) не подходит и по знаку, и по величине)R=х=4, диаметр окружности (гипотенуза треугольника АВС) равен 2R=8.Так как ВС по условию задачи больше ВТ на 6 см, ВТ=8-6=2 смТреугольник АОТ - прямоугольный (по свойству касательной ), катеты в нем 4 и 2√5, гипотенуза равна ОВ+2=6Необходимо найти высоту h этого треугольника, которая является высотой и треугольника АВС, чтобы ответить на основной вопрос задачи.Обозначим точку высоты на ОТ буквой Н.h=АО²-ОН² и h=АТ²- НТ²⇒ 4²-ОН²=20-(6-ОН)²16 - ОН²=20 - 36+12ОН-ОН²16-20+36=12ОН12ОН=32 3ОН=8ОН=8/3 h²=16 - 64/99h²=144 - 64=80h²=80/9h=√80/9=√(16*5/9)=(4√5):3 S АВС=0,5* 8*(4√5):3 =(16√5):3