при каком значении параметра а вектор q(-1;0;а) является ...

Question

при каком значении параметра а вектор q(-1;0;а) является ...

Lera

при каком значении параметра а вектор q(-1;0;а) является собственным вектором линейного оператора А, заданного матрицей А=(4 4 -6 ; 3 2 -3 ; 3 4 -5). Найти собственное значение оператора А, соответствующее данному вектору.

Есть ответ

17.12.2022

379

Ответ

Answer 1 · 17.12.2022

$A=left(begin{matrix} 4&4&-6\ 3&2&-3\ 3&4&-5\ end{matrix}right)quad bar{q}=left(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)\ bar qneq bar0$ - собственный вектор А, если

left(begin{matrix} 4&4&-6\ 3&2&-3\ 3&4&-5\ end{matrix}right)cdotleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)=lambdaleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)Rightarrow\Rightarrowleft(begin{matrix} 4cdot(-1)+4cdot0+(-6)cdot a\ 3cdot(-1)+2cdot0+(-3)cdot a\3cdot(-1)+4cdot0+(-5)cdot a end{matrix}right)=left(begin{matrix} -lambda\ 0\ lambda a end{matrix}right)Rightarrow" title="Abar q=lambdabar q\" title="left(begin{matrix} 4&4&-6\ 3&2&-3\ 3&4&-5\ end{matrix}right)cdotleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)=lambdaleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)Rightarrow\Rightarrowleft(begin{matrix} 4cdot(-1)+4cdot0+(-6)cdot a\ 3cdot(-1)+2cdot0+(-3)cdot a\3cdot(-1)+4cdot0+(-5)cdot a end{matrix}right)=left(begin{matrix} -lambda\ 0\ lambda a end{matrix}right)Rightarrow" title="Abar q=lambdabar q\" alt="left(begin{matrix} 4&4&-6\ 3&2&-3\ 3&4&-5\ end{matrix}right)cdotleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)=lambdaleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)Rightarrow\Rightarrowleft(begin{matrix} 4cdot(-1)+4cdot0+(-6)cdot a\ 3cdot(-1)+2cdot0+(-3)cdot a\3cdot(-1)+4cdot0+(-5)cdot a end{matrix}right)=left(begin{matrix} -lambda\ 0\ lambda a end{matrix}right)Rightarrow" title="Abar q=lambdabar q\" />

left(begin{matrix} 4&4&-6\ 3&2&-3\ 3&4&-5\ end{matrix}right)cdotleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)=lambdaleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)Rightarrow\Rightarrowleft(begin{matrix} 4cdot(-1)+4cdot0+(-6)cdot a\ 3cdot(-1)+2cdot0+(-3)cdot a\3cdot(-1)+4cdot0+(-5)cdot a end{matrix}right)=left(begin{matrix} -lambda\ 0\ lambda a end{matrix}right)Rightarrow" alt="Abar q=lambdabar q\" title="left(begin{matrix} 4&4&-6\ 3&2&-3\ 3&4&-5\ end{matrix}right)cdotleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)=lambdaleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)Rightarrow\Rightarrowleft(begin{matrix} 4cdot(-1)+4cdot0+(-6)cdot a\ 3cdot(-1)+2cdot0+(-3)cdot a\3cdot(-1)+4cdot0+(-5)cdot a end{matrix}right)=left(begin{matrix} -lambda\ 0\ lambda a end{matrix}right)Rightarrow" alt="Abar q=lambdabar q\" alt="left(begin{matrix} 4&4&-6\ 3&2&-3\ 3&4&-5\ end{matrix}right)cdotleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)=lambdaleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)Rightarrow\Rightarrowleft(begin{matrix} 4cdot(-1)+4cdot0+(-6)cdot a\ 3cdot(-1)+2cdot0+(-3)cdot a\3cdot(-1)+4cdot0+(-5)cdot a end{matrix}right)=left(begin{matrix} -lambda\ 0\ lambda a end{matrix}right)Rightarrow" alt="Abar q=lambdabar q\" />

[tex]left(begin{matrix} 4&4&-6\ 3&2&-3\ 3&4&-5\ end{matrix}right)cdotleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)=lambdaleft(begin{matrix} -1\ 0\ a end{matrix}right)Rightarrow\Rightarrowleft(begin{matrix} 4cdot(-1)+4cdot0+(-6)cdot a\ 3cdot(-1)+2cdot0+(-3)cdot a\3cdot(-1)+4cdot0+(-5)cdot a end{matrix}right)=left(begin{matrix} -lambda\ 0\ lambda a end{matrix}right)Rightarrow" />

$Rightarrowleft(begin{matrix} -6a-4\ -3a-3\-5a-3end{matrix}right)=left(begin{matrix} -lambda\ 0\ lambda a end{matrix}right)\left{begin{matrix}-6a-4=-lambda\ -3a-3=0\-5a-3=lambda aend{matrix}right.$

Из этой системы находим значение параметра $a=-1$ , при котором вектор q является собчтвенным вектором оператора А, и соответствующее ему собственное значение $lambda =-2$