Решить дифференциальное уравнение y штрих=(x-y)^2+1 если можно ...

Question

Решить дифференциальное уравнение y штрих=(x-y)^2+1 если можно ...

Ирина

Решить дифференциальное уравнение y штрих=(x-y)^2+1 если можно поточнее

Есть ответ

12.12.2022

370

Ответ

Answer 1 · 12.12.2022

$y'=(x-y)^2+1$
Пусть $x-y=t$ , тогда $(x-y)'=t'~~~Rightarow~~~ 1-y'=t'$ откуда $y'=1-t'$ , частное решение y - x=0 откуда у = х, тогда получаем
$1 - t'=t^2+1\ \ t'=-t^2$
Последнее дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
$dfrac{dt}{dx}=-t^2~~~Rightarrow~~~~displaystyle -intdfrac{dt}{t^2}=int dx~~~Rightarrow~~~frac{1}{t}=x+C$

Выполнив обратную замену, получим
$dfrac{1}{x-y}=x+C~~~Rightarrow~~~x-y=dfrac{1}{x+C}~~~Rightarrow~~~ boxed{y=x-dfrac{1}{x+C}}$

Получили общее решение дифференциального уравнения

Ответ: $displaystyle left[begin{array}{ccc}y=x-dfrac{1}{x+C}\ \ y=xend{array}right$