Камень бросили вертикально вверх со скоростью 5 мс .На какую ...

Question

Камень бросили вертикально вверх со скоростью 5 мс .На какую ...

Viktor

Камень бросили вертикально вверх со скоростью 5 мс .На какую максимальную высоту он поднимается?

Есть ответ

17.12.2022

340

Ответ

Answer 1 · 17.12.2022

Моделируем камень точечной массой (точкой). Введём систему координат на плоскости с центром в точке-камне перед моментом броска. Ось y направлена вертикально вверх, ось x — ортогональна y в плоскости движения. Моменту броска присвоим время t=0.

Запишем ускорения точки (движение в поле силы тяжести):

$ddot{x} = 0, ; ddot{y} = -g$

Интегрируя, получим:

" title="dot{x} = int ddot{x} dt = A" alt="dot{x} = int ddot{x} dt = A" />

" title="x = int dot{x} dt = A t + B" alt="x = int dot{x} dt = A t + B" />

" title="dot{y} = int ddot{y} dt = - g cdot t + C" alt="dot{y} = int ddot{y} dt = - g cdot t + C" />

" title="y = int dot{y} dt = - g cdot frac{1}{2} t^2 + Ct + D" alt="y = int dot{y} dt = - g cdot frac{1}{2} t^2 + Ct + D" />

Начальные условия:

$dot{x}|_{t=0} = 0, ; dot{y}|_{t=0} = v_0$

$x|_{t=0} = 0, ; y}_{t=0} = 0$

Отсюда:

$A = 0, ; B = 0, ; D = 0$

$C = v_0$

$x = 0$

v_0" title="dot{x} = 0" title="dot{y} = - g cdot t + v_0" title="dot{x} = 0" alt="dot{y} = - g cdot t + v_0" title="dot{x} = 0" />

$x = 0$

v_0" alt="dot{x} = 0" title="dot{y} = - g cdot t + v_0" alt="dot{x} = 0" alt="dot{y} = - g cdot t + v_0" alt="dot{x} = 0" />

$x = 0$

v_0" />

[tex]y = - g cdot frac{1}{2} t^2 + v_0 t" title="dot{y} = - g cdot t + v_0" />

[tex]y = - g cdot frac{1}{2} t^2 + v_0 t" alt="dot{y} = - g cdot t + v_0" />

[tex]y = - g cdot frac{1}{2} t^2 + v_0 t" />

Найдём экстремумы для

" title="y = - g cdot frac{1}{2} t^2 + v_0 t" alt="y = - g cdot frac{1}{2} t^2 + v_0 t" />, приравняв $dot{y} = 0$ :

v_0 = 0 ; Rightarrow ; t^{*} = frac{v_0}{g}" title="- g cdot t + v_0 = 0 ; Rightarrow ; t^{*} = frac{v_0}{g}" alt="- g cdot t + v_0 = 0 ; Rightarrow ; t^{*} = frac{v_0}{g}" />

Поскольку $ddot{y} 0$ , то полученный экстемум является максимумом для $y(t)$ .

Наибольшая координата y, достигаемая при моменте времени t*, и будет искомой высотой:

$y_{max} = - g cdot frac{1}{2} left(t^{*}}right)^2 + v_0 t^{*} = - g cdot frac{1}{2} left({frac{v_0}{g}}right)^2 + v_0 frac{v_0}{g}$

Принимая $g = 10$ м/с² и имея по условию $v_0 = 5$ м/с, получим:

y_{max} = - frac{1}{2} {frac{{v_0}^2}{g}} + frac{{v_0}^2}{g} = frac{1}{2} {frac{{v_0}^2}{g}} = frac{1}{2} cdot {frac{{5}^2}{10}} = frac{25}{20} = 1.25" title="y_{max} = - frac{1}{2} {frac{{v_0}^2}{g}} + frac{{v_0}^2}{g} = frac{1}{2} {frac{{v_0}^2}{g}} = frac{1}{2} cdot {frac{{5}^2}{10}} = frac{25}{20} = 1.25" alt="y_{max} = - frac{1}{2} {frac{{v_0}^2}{g}} + frac{{v_0}^2}{g} = frac{1}{2} {frac{{v_0}^2}{g}} = frac{1}{2} cdot {frac{{5}^2}{10}} = frac{25}{20} = 1.25" /> м.

Ответ: 1,25 м.