Решить систему дифференциальных уравнений: y'(t) = y(t) + z(t) ...
Решить систему дифференциальных уравнений: y'(t) = y(t) + z(t) z'(t) = t + y(t) + z(t)
Есть ответ
12.12.2022
305
Ответ
=z'(t)-t-z(t) "y(t)=z'(t)-t-z(t)")
Продифференцируем второе уравнение по переменной t, получим
=1+y'(t)+z'(t)~~~Rightarrow~~~ y'(t)=z''(t)-z'(t)-1 "z''(t)=1+y'(t)+z'(t)~~~Rightarrow~~~ y'(t)=z''(t)-z'(t)-1")
Подставляем в первое уравнение:
-z'(t)-1=z'(t)-z(t)-t+z(t)\ \ z''-2z'=1-t "z''(t)-z'(t)-1=z'(t)-z(t)-t+z(t)\ \ z''-2z'=1-t")
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной правой частью:
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
Пусть 
, получим характеристическое уравнение:
=0~~~Longleftrightarrow~~~ k_1=0;~~~ k_2=2 "k^2-2k=0\ k(k-2)=0~~~Longleftrightarrow~~~ k_1=0;~~~ k_2=2")
Общее решение однородного дифференциального уравнения
Рассмотрим полином правой части =(1-t)e^{0t} "f(t)=(1-t)e^{0t}")
здесь =1-t,~~ alpha =0,~~ n=1 "P_n(t)=1-t,~~ alpha =0,~~ n=1")
. Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая, во внимая что n = 0, частное решение будем искать в виде:
=At^2+Bt "z^{**}=t(At+B)=At^2+Bt")
Подставляем в исходное диф. уравнение:
=1-t\ \ 2A-2B-4At=1-t "2A-2(2At+B)=1-t\ \ 2A-2B-4At=1-t")
Приравниваем коэффициенты при степени t
Частное решение: 
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
Если вы нашли правильное решение, вы можете поблагодарить нас начиная с 10 рублей.
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
Просто нажмите на кнопку "Подарить".
12.12.2022
